Generalización de criterios de univalencia a funciones armónicas complejas

Abstract

Este trabajo se engloba dentro de la teoría geomérica para mapeos armónicos complejos, el cual tiene como objetivo principal establecer la univalencia de mapeos armónicos a través del uso de la derivada Schwarziana. El estudio está desglozado en tres capítulos; a saber: El capítulo 1 presenta los preliminares en el cual se muestran una serie de definiciones relacionadas al estudio de funciones analíticas, univalentes y funciones armónicas; además de teoremas y lemas relevantes como son: el lema de Schwarz, el lema de Schwarz-Pick, el teorema de Hurwitz, el teorema de Lewy, entre otros. Todos estos resultados serán utilizados en los posteriores capítulos. En el capítulo 2 se inicia con la definición de derivada Schwarziana extendida a funciones armónicas. Luego, se enuncia un primer criterio hecho por Nehari para funciones analíticas además de algunas proposiciones. Seguidamente, este criterio se generaliza al caso de mapeos armónicos y se ilustra un ejemplo de mapeo armónico que cumpla con las hipótesis del criterio de univalencia generalizado. Posteriormente se menciona y demuestra un segundo criterio de univalencia de Nehari para funciones analíticas y se presenta la generalización del mismo a mapeos armónicos finalizando con una secuencia de ejemplos de este último criterio. Por último, en el capítulo 3 se enuncia otro criterio de univalencia conocido como el criterio de Pokornyi que también se generaliza a mapeos armónicos y se desarrolla un ejemplo que cumpla con las hipótesis pertinentes de la generalización. La generalización de los criterios de univalencia presentados son aportes originales de esta tesis.